Question

設x、y是正實數，且x+y=1，則

x2

x+1

+

y2

y+1

的最小值是

 

．

Answer 1

考點：函數最值的應用

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由基本不等式可得0＜xy≤

1

4

，令t=xy，則0＜t≤

1

4

，則Z=

x2

x+1

+

y2

y+1

=

1-t

t+2

，分析函數的單調性，進而根據單調性可得答案．

解答： 解：∵x+y=1，
∴

x2

x+1

+

y2

y+1

=

x2(y+1)+y2(x+)

(x+1)(y+1)

=

xy(x+y)+x2+y2

xy+x+y+1

=

xy+(x+y)2-2xy

xy+2

=

1-xy

xy+2

，
又∵x、y是正實數，
∴x+y=1≥2

xy

，即0＜xy≤

1

4

，
令t=xy，則0＜t≤

1

4

，Z=

x2

x+1

+

y2

y+1

=

1-t

t+2

，
∵Z′=

-3

(t+2)2

＜0在0＜t≤

1

4

時恒成立，
故Z=

1-t

t+2

在0＜t≤

1

4

時為減函數，
故當t=

1

4

時，函數有最小值

1

3

，
即

x2

x+1

+

y2

y+1

的最小值是

1

3

，
故答案為：

1

3

點評：本題考查的知識點是函數最值的應用，其中將問題轉化為求函數的最小值，是解答的關鍵．