4.已知ABC-A1B1C1為直三棱柱,AB⊥BC,AA1=AB=BC,連接AB1交A1B于點E,
(1)求證:AE⊥A1C
(2)若A1A=2,求E到平面A1AC的距離.

分析 (1)證明AE⊥平面A1BC,即可證明AE⊥A1C
(2)若A1A=2,利用等體積轉(zhuǎn)化求E到平面A1AC的距離.

解答 (1)證明:∵ABC-A1B1C1為直三棱柱,∴A1A⊥平面ABC,
∴A1A⊥BC,
∵AB⊥BC,A1A∩AB=A,
∴BC⊥平面A1AB,
∵AE?平面A1AB,
∴BC⊥AE,
∵A1A=AB,
∴四邊形A1B1BA是正方形,
∵E是A1B的中點,∴AE⊥A1B,
∴AE⊥平面A1BC,
∵A1C?平面A1BC,
∴AE⊥A1C;
(2)解:設E到平面A1AC的距離為h,
AA1=AB=BC=2,AC=2$\sqrt{2}$,AE=A1E=$\sqrt{2}$
由${V}_{E-{A}_{1}AC}$=${V}_{C-{A}_{1}AE}$,得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$,
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì),考查等體積求點到平面的距離,屬于中檔題.

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