Question

10．過點M（0，4）的直線l交拋物線x²=4y于AA，B兩點，若△AOM與△BOM的面積比為2：1（O為坐標(biāo)原點），則直線l的斜率為±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 直線l方程為y=kx+4，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，三角形的面積公式，即可求得A和B點坐標(biāo)，代入求得求得直線的斜率．

解答 解：設(shè)直線l方程為y=kx+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx-16=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-16，
△AOM與△BOM的面積比為2：1，
∴丨x₁丨=2丨x₂丨，則x₁=-2x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4\sqrt{2}}\\{{x}_{2}=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4\sqrt{2}}\\{{x}_{2}=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直線l的斜率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．