Question

已知函數(shù)，，，其中，且.
⑴當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；
⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
⑶設(shè)函數(shù)若對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

⑴-1; ⑵詳見解析; ⑶

試題分析：⑴令g′（x）=0求出根，判斷g′（x）在左右兩邊的符號(hào)，得到g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知g（x）最大值為g（1），并求出最值；
⑵解不等式得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于零求出單調(diào)遞減區(qū)間，注意單調(diào)區(qū)間與定義域取交集；
⑶不等式恒成立就是求函數(shù)的最值，注意對(duì)參數(shù)的討論.
試題解析：⑴當(dāng)時(shí)， ∴
令，則， ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
∴                          （4分）
⑵，，（）
∴當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù).
綜上得，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為； 
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為   （10分）
⑶當(dāng)，在上是減函數(shù)，此時(shí)的取值集合；
當(dāng)時(shí)，，
若時(shí)，在上是增函數(shù)，此時(shí)的取值集合；
若時(shí)，在上是減函數(shù)，此時(shí)的取值集合.
對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，
①當(dāng)時(shí)，∵在上是減函數(shù)，則在上不存在實(shí)數(shù)（），使得，則，要在上存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，必定有，∴；
②當(dāng)時(shí)，在時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則，要在上存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，必定有，∴.
綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.                          （14分）.