Question

若函數(shù)f（x）滿足：?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，則稱f（x）∈Ψ．對于函數(shù)g（x）=x³-x，h（x）=

1+x，x＜0 cosx，x≥0

，有（　　）

• A、g（x）∈Ψ且h（x）∈Ψ
• B、g（x）∈Ψ且h（x）∉Ψ
• C、g（x）∉Ψ且h（x）∈Ψ
• D、g（x）∉Ψ且h（x）∉Ψ

Answer 1

考點(diǎn)：全稱命題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出g（x₁）-g（x₂）|≤2|x₁-x₂|，故g（x）∉Ψ；再分類討論，對h（x）進(jìn)行判斷，問題得以解決．

解答： 解：|g（x₁）-g（x₂）|=|x₁³-x₁-x₂³+x₂|=|（x₁-x₂）•（x₁²+x₁x₂+x₂²）-（x₁-x₂）|=|（x₁-x₂）||x₁²+x₁x₂+x₂²-1|，
因?yàn)閤₁，x₂∈[-1，1]，
所以|x₁²+x₁x₂+x₂²|≤x₁²+|x₁x₂|+x₂²≤3
所以|x₁²+x₁x₂+x₂²-1|≤|x₁²+x₁x₂+x₂²-1|≤|x₁²+|x₁x₂|+x₂²-1|≤|3-1|≤2
所以有|g（x₁）-g（x₂）|≤2|x₁-x₂|，
所以g（x）∉Ψ；
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，|h（x₁）-h（x₂）|=|x₁-x₂|≤|x₁-x₂|，
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|h（x₁）-h（x₂）|=|cosx₁-cosx₂|≤|x₁-x₂|，
所述h（x）∈Ψ，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于新概念的問題，題中考查了絕對值不等式的應(yīng)用．對于此類型的題目需要對題目概念做認(rèn)真分析再做題．屬于中檔題．