Question

已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1（－3,0)，一條漸近線的方程是

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若以k（k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M, N,且線段MA的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2)

【解析】

試題分析：(1)因為中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1（一3,0)，一條漸近線的方程是，兩個條件即可求出雙曲線的方程.

(2)依題意可得通過假設(shè)直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程消去y，即可得到一個關(guān)于x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理以及判別式要大于零，即可寫出線段MN的中垂線的直線方程，從而求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點，即可表示出所求的三角形的面積，從而得到一個等式結(jié)合判別式的關(guān)系式，即可得到結(jié)論.

試題解析：（1）設(shè)雙曲線的方程為，

由題設(shè)得 解得，所以雙曲線的方程為；

（2）設(shè)直線的方程為，點，的坐標(biāo)滿足方程組，將①式代入②式，得，

整理得，此方程有兩個不等實根，于是，

且，

整理得.③ 由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點坐標(biāo)滿足：

，，從而線段的垂直平分線的方程為，此直線與軸，軸的交點坐標(biāo)分別為，，

由題設(shè)可得，整理得，，

將上式代入③式得，整理得，，解得或， 所以的取值范圍是．

考點：1.待定系數(shù)的應(yīng)用.2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.3.三角形的面積的表示方法.4.韋達(dá)定理.5.代數(shù)的運(yùn)算能力.