Question

13．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點，若點F₂關(guān)于直線bx-ay=0的對稱點恰好落在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 求出F₂到漸近線的距離，利用F₂關(guān)于漸近線的對稱點恰落在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓上，可得直角三角形，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則F₂到漸近線bx-ay=0的距離為$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$b．
設(shè)F₂關(guān)于漸近線的對稱點為M，F(xiàn)₂M與漸近線交于A，∴|MF₂|=2b，A為F₂M的中點
又0是F₁F₂的中點，∴OA∥F₁M，∴∠F₁MF₂為直角，
∴△MF₁F₂為直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
∴c=2a，∴e=2．
故選B．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查勾股定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．