Question

【題目】如圖1，在高為2的梯形中，，，，過、分別作，，垂足分別為、．已知，將梯形沿、

同側折起，使得，，得空間幾何體，如圖2．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：

（Ⅰ）連接交于，取的中點，連接，則是的中位線，結合已知從而可得平行四邊形，因此有，于是由線面平行的判定定理得線面平行；

（Ⅱ）關鍵是頂點的轉化，由線面平行有 ，則體積可得．

試題解析：

（Ⅰ）證法一：連接交于，取的中點，連接，則

是的中位線，所以.

由已知得，所以，連接，

則四邊形是平行四邊形，所以，

又因為所以，即.

證法二：延長交于點，連接，則，

由已知得，所以是的中位線，所以

所以，四邊形是平行四邊形，

又因為所以.

證法三：取的中點，連接，易得，即四邊形是

平行四邊形，則，又

所以

又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，

又是平行四邊形，所以，所以，所以

四邊形是平行四邊形，所以，又又

所以

又，所以面，又，所以.

（Ⅱ）因為，所以 ,由已知得，四邊形ABEF為正方形，且邊長為2，則在圖2中，AFBE，由已知AFBD，BEBD=B,，可得AF面BDE， 又DE面BDE，所以AFDE，又AEDE，AFAE=E，所以DE面ABEF， 且，所以，所以是三棱錐的高，四邊形是直角梯形。