Question

【題目】①設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)a ， b ， c ， 滿足 ，求證：a ， b ， c一定是某一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)；
②設(shè)n個(gè)正實(shí)數(shù) a1,a2,...an 滿足不等式 (其中 )，求證： a1,a2,...an 中任何三個(gè)數(shù)都是某一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】證明：①由題意，得 ，所以(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)>0 ，由于 a,b,c>0 ，所以上面不等式左邊至少有三項(xiàng)為正數(shù)，而四項(xiàng)之積為正，故這四項(xiàng)都是正數(shù)，從而推出 a+b>c,b+c>a,a,b,c>0，即 a,b,c 是某一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng).
②設(shè)法把 a1,a2,...an 中任何三個(gè)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為①的條件即可.
由已知及柯西不等式，得

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所以， .
那么由①可知， a1,a2,a3 是某個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng)，再由對(duì)稱性可知 a1,a2,...an 中任何三個(gè)數(shù)都可以作為某一個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng).
【解析】本題主要考查了一般形式的柯西不等式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是①根據(jù)所給條件分解因式結(jié)合三角形三邊關(guān)系判斷即可；
②設(shè)法把 a1,a2,...an 中任何三個(gè)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為①條件即可.
由已知及柯西不等式得到 ，根據(jù)對(duì)稱性可知 a1,a2,...an 中任何三個(gè)數(shù)都可以作為某一個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用一般形式的柯西不等式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一般形式的柯西不等式：．