Question

11．已知拋物線y²=ax（a≠0）的準(zhǔn)線方程為x=-3，△ABC為等邊三角形，且其頂點(diǎn)在此拋物線上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABC的邊長(zhǎng)為24$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出拋物線方程，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知△ABC一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，另兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，利用等邊三角形的性質(zhì)解出其中一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出答案．

解答 解：∵拋物線y²=ax（a≠0）的準(zhǔn)線方程為x=-3，∴拋物線方程為y²=12x．
由拋物線的對(duì)稱性可知△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)B，C關(guān)于x軸對(duì)稱．
設(shè)B在第一象限，坐標(biāo)為（m，n），則n=$\frac{\sqrt{3}}{3}m$．
∴$\frac{{m}^{2}}{3}$=12m，解得m=36．
∴△ABC的邊長(zhǎng)為2n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}m$=24$\sqrt{3}$．
故答案為：24$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題．