Question

（1）判斷函數(shù)f（x）=

2x-1

x-1

在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義法給出證明；
（2）判斷函數(shù)g（x）=x3+

1

x

的奇偶性，并用定義法給出證明．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）先求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷和證明．

解答：解：（1）函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
證明：對(duì)任意的1＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

2x1-1

x1-1

-

2x2-1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）函數(shù)g（x）=x3+

1

x

是奇函數(shù)．
證明：函數(shù)g（x）=x3+

1

x

的定義域?yàn)閧x|x≠0}，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵g(-x)=(-x)3+

1

-x

=-x3-

1

x

=-(x3+

1

x

)=-g(x)，
∴函數(shù)g（x）=x3+

1

x

是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明，利用單調(diào)性和奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．