Question

已知函數(shù)f（x）=

x2 4 +1，-2≤x≤1 x-3，1＜x≤2

，則函數(shù)y=f（f（x））的值域是

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：利用換元法．先求出內(nèi)層的t=f（x）的范圍，再根據(jù)t的范圍，借助于函數(shù)f（x）性質(zhì)，求y=f（t）的值域即為所求．

解答： 解：令t=f（x），由f（x）=

x2 4 +1，-2≤x≤1 x-3，1＜x≤2

，得：
當-2≤x≤1時，t=

1

4

x2+1∈[1，2]；當1＜x≤2時，t=x-3∈[-2，-1]，
所以要求函數(shù)y=f（f（x）），即求f（t）=

t2 4 +1，-2≤t≤-1或t=1 t-3，1＜t≤2

的值域，
當-2≤t≤-1或t=1時，f（t）=

t2

4

+1∈[1，2]；
當1＜t≤2時，f（t）∈（-2，-1]．
綜上，函數(shù)y=f（f（x））的值域是（-2，-1]∪[1，2]．
故答案為（-2，-1]∪[1，2]．

點評：首先這是一道分段函數(shù)問題，要分段處理，同時求復合函數(shù)y=f（f（x））的值域，利用換元法使問題最終轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的值域問題．