在△ABC中,若acos2
C
2
+cos2
A
2
=
3b
2
,求證:a,b,c成等差數(shù)列.
分析:由二倍角的余弦公式,化簡整理得sinA(1+cosC)+sinC(1+cosA)=
3
2
sinB,再將左邊展開并利用和的正弦公式合并,結合sin(A+C)=sinB消元得到sinA+sinC=2sinB,最后由正弦定理化簡即可得a+c=2b,得到a,b,c成等差數(shù)列.
解答:解:∵cos2
C
2
=
1+cosC
2
cos2
A
2
=
1+cosA
2

∴由acos2
C
2
+cos2
A
2
=
3b
2
,得a•
1+cosC
2
+c•
1+cosA
2
=
3b
2
…(4分)
由正弦定理,得sinA(1+cosC)+sinC(1+cosA)=
3
2
sinB
∴sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB…(6分)
整理,得sinA+sin(A+C)+sinC=3sinB(*)…(8分)
∵在△ABC中A+B+C=π,∴sin(A+C)=sinB…(10分)
因此,在(*)式兩邊消去一個sinB,得sinA+sinC=2sinB,
再由正弦定理,得a+c=2b,所以a,b,c成等差數(shù)列…(13分)
點評:本題給出三角形ABC的邊角關系的等式,求證三邊成等差數(shù)列,著重考查了三角恒等變換和利用正余弦定理解三角形等知識,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,若AC=1,AB=
3
,C=
3
,則BC=
1
1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2008•佛山二模)在△ABC中,若
AC
BC
=1
AB
BC
=-2
,則|
BC
|
=
3
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2008•成都二模)在△ABC中,若
AC
BC
=1,
AB
BC
=-2,則|
BC
|的值為(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,若AC=,AB=,∠C=,則BC等于(    )

A.5         B.        C.3    D.-1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,若AC=,AB=,∠C=,則△ABC的面積為(    )

A.    B.    C.3    D.

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