Question

若函數(shù)f（x）=x-1-alnx（a＜0）對任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|，
則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：確定函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)y=

1

x

在（0，1]上是減函數(shù)，設(shè)h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，則|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|，等價于函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，從而可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)a＜0時，f′（x）＞0恒成立，此時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又函數(shù)y=

1

x

在（0，1]上是減函數(shù)
不妨設(shè)0＜x₁≤x₂≤1
則|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|，
即f（x₂）+4×

1

x2

≤f（x₁）+4×

1

x1

設(shè)h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，
則|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|，等價于函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)
∵h'（x）=1-

a

x

-

4

x2

=

x2-ax-4

x2

，∴x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-

4

x

在（0，1]內(nèi)的最大值．
而函數(shù)y=x-

4

x

在（0，1]是增函數(shù)，∴y=x-

4

x

的最大值為-3
∴a≥-3，
又a＜0，∴a∈[-3，0）．
故答案為：[-3，0）．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．