Question

【題目】已知是定義在上的函數(shù)，記，的最大值為.若存在，滿足，則稱一次函數(shù)是的“逼近函數(shù)”，此時的稱為在上的“逼近確界”.

（1）驗(yàn)證：是的“逼近函數(shù)”；

（2）已知.若是的“逼近函數(shù)”，求的值；

（3）已知的逼近確界為，求證：對任意常數(shù)，.

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2），，（3）證明見解析

【解析】

（1），

因?yàn)?/span>，故的值域?yàn)?/span>，故，

令，解得或或.

取，，，則， ，，

且，故是的“逼近函數(shù)”.

（2），

因?yàn)?/span>且是的“逼近函數(shù)”，

故在和取最小值且在內(nèi)取最大值.

令，從而，令則

即，故.

（3）同（2），，令，從而.

因?yàn)?/span>的逼近確界為，

由逼近確界的定義可得：存在，使得.

對于任意的， .

故時，有，

故，

所以，故.

故時，有，

故，

所以，

由基本不等式可得，故

故.

綜上，對任意的，有.