Question

已知函數f（x）=

(x-2a)2(x≤0) 4 x +x+a+1(x＞0)

的最小值為f（0），則a的取值范圍是（　�。�

• A、[-1，

  5

  4

  ]
• B、[-1，0]
• C、[0，

  5

  4

  ]
• D、[0，2]

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由分段函數可得當x=0時，f（0）=4a²，由于f（0）是f（x）的最小值，則（-∞，0]為減區(qū)間，即有a≥0，則有4a²≤x+

4

x

+a+1，x＞0恒成立，運用基本不等式，即可得到右邊的最小值5+a，解不等式4a²≤5+a，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：由于f（x）=

(x-2a)2(x≤0) 4 x +x+a+1(x＞0)

，
則當x=0時，f（0）=4a²，
由于f（0）是f（x）的最小值，
則（-∞，0]為減區(qū)間，即有a≥0，
則有4a²≤x+

4

x

+a+1，x＞0恒成立，
由x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，當且僅當x=2取最小值4，
則4a²≤5+a，解得-1≤a≤

5

4

．
綜上，a的取值范圍為[0，

5

4

]．
故選：C．

點評：本題考察了分段函數的應用，考查函數的單調性及運用，同時考查基本不等式的應用，是一道中檔題，也是易錯題．