如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中點(diǎn)，E是棱AA1上任意一點(diǎn)．

(1)證明：BD⊥EC1；

(2)如果AB＝2，AE＝，OE⊥EC1，求AA1的長(zhǎng)．


解：(1)證明：如圖，連接AC，A1C1，相交于點(diǎn)O.

由底面是正方形知，BD⊥AC.

因?yàn)?i>AA1⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，

所以AA1⊥BD.

又由AA1∩AC＝A，

所以BD⊥平面AA1C1C.

再由EC1⊂平面AA1C1C知，

BD⊥EC1.

(2)設(shè)AA1的長(zhǎng)為h，連接OC1.

在Rt△OAE中，AE＝，AO＝，

故OE2＝()2＋()2＝4.

在Rt△EA1C1中，A1E＝h－，A1C1＝2，

故EC＝(h－)2＋(2)2.

在Rt△OCC1中，OC＝，CC1＝h，OC＝h2＋()2.

因?yàn)?i>OE⊥EC1，所以OE2＋EC＝OC，

即4＋(h－)2＋(2)2＝h2＋()2，

解得h＝3，

所以AA1的長(zhǎng)為3.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝an＋ (n＝1,2，…)．

(1)證明：an＞對(duì)一切正整數(shù)n都成立；

(2)令bn＝ (n＝1,2，…)，判斷bn與bn＋1的大小，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)

①有三個(gè)角是直角的四邊形一定是矩形；

②不共面的四點(diǎn)可以確定四個(gè)面；

③空間四點(diǎn)不共面的充要條件是其中任意三點(diǎn)不共線；

④若點(diǎn)A、B、C∈平面M，且點(diǎn)A、B、C∈平面N，則平面M與平面N重合．

A．0                              B．1

C．2                              D．3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


在空間中，有如下命題：

①互相平行的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影必然是互相平行的兩條直線；

②若平面α∥平面β，則平面α內(nèi)任意一條直線m∥平面β；

③若平面α與平面β的交線為m，平面α內(nèi)的直線n⊥直線m，則直線n⊥平面β；

④若平面α內(nèi)的三點(diǎn)A，B，C到平面β的距離相等，則α∥β.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


如圖，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，點(diǎn)E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，求證：

(1)直線EF∥平面ACD；

(2)平面EFC⊥平面BCD.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一點(diǎn)，若，則λ＝________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


如圖所示，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點(diǎn)D，AD＝1，CD＝3，PD＝.

(1)證明：△PBC為直角三角形；

(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：

 

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

甲班

10

b

乙班

c

30

總計(jì)

 

 

105

已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是(　　)

參考公式：χ2＝

附表：

P(χ2≥k)

0.050[

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35

B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50

C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”

D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案