已知直線l:y=x+m與橢圓數(shù)學公式相交于不同的兩點A,B,點M(4,1)為定點.
(1)求m的取值范圍;
(2)若直線l不過點M,求證:直線MA,MB與x軸圍成一個等腰三角形.

(1)解:直線l:y=x+m代入橢圓,可得5x2+8mx+4m2-20=0
∵直線l:y=x+m與橢圓相交于不同的兩點A,B,
∴△=64m2-20(4m2-20)>0,
∴-5<m<5;
(2)證明:設直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,點A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=
∴k1+k2=+==
==0
∴直線MA、MB的傾斜角互補,故直線MA,MB與x軸圍成一個等腰三角形.
分析:(1)直線方程代入橢圓方程,利用判別式大于0,即可求m的取值范圍;
(2)證明直線MA、MB的傾斜角互補,即可證得結(jié)論.
點評:本題考查直線與橢圓的位置關系,考查斜率的計算,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知直線l:y=x+1和圓C:x2+y2=
12
,則直線l與圓C的位置關系為
相切
相切

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知直線l:y=x+2,與拋物線x2=y交于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點,l與x軸交于點C(xC,0).
(1)求證:
1
xA
+
1
xB
=
1
xC
;
(2)求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積;
(3)某同學利用TI-Nspire圖形計算器作圖驗證結(jié)果時(如圖1所示),嘗試拖動改變直線l與拋物線的方程,發(fā)現(xiàn)
1
xA
+
1
xB
1
xC
的結(jié)果依然相等(如圖2、圖3所示),你能由此發(fā)現(xiàn)出關于拋物線的一般結(jié)論,并進行證明嗎?精英家教網(wǎng)

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