函數(shù)f(x)=
x33
+ax2-(2a+1)x

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)對(duì)滿足-1≤a≤1的a一切的值,都有f'(x)>0,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
分析:(I)求導(dǎo)函數(shù),令f′(x)=0,比較兩根的大小,分類(lèi)討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)f′(x)=x2+2ax-(2a+1),構(gòu)造函數(shù)g(a)=2(x-1)a+x2-1,對(duì)滿足-1≤a≤1的a一切的值,都有f'(x)>0,即g(a)>0,由此可得不等式,即可求得實(shí)數(shù)x的取值范圍.
解答:解:(I)求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=x2+2ax-(2a+1)
令f′(x)=0,解得x=1或-2a-1
若a=-1,則f′(x)≥0,故函數(shù)在R上單調(diào)遞增;
若a<-1,則x∈(1,-2a-1)時(shí),f′(x)<0,x∈(-∞,1)∪(-2a-1,+∞)時(shí),f′(x)>0
∴f(x)在(1,-2a-1)上單調(diào)遞減,在(-∞,1)和(-2a-1,+∞)上單調(diào)遞增;
若a>-1,則x∈(-2a-1,1)時(shí),f′(x)<0,x∈(-∞,-2a-1)∪(1,+∞)時(shí),f′(x)>0
∴f(x)在(-2a-1,1)上單調(diào)遞減,在(-∞,-2a-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增;
(II)f′(x)=x2+2ax-(2a+1)
構(gòu)造函數(shù)g(a)=2(x-1)a+x2-1,對(duì)滿足-1≤a≤1的a一切的值,都有f'(x)>0,即g(a)>0
g(1)>0
g(-1)>0
,∴
x2+2x-3>0
x2-2x+1>0

解得x>1或x<-3,
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為(-∞,-3)∪(1,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查恒成立問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo),合理構(gòu)造新函數(shù).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x3
3
,g(x)=t
2
3
x-
2
3
t

(Ⅰ)當(dāng)t=8時(shí),求函數(shù)y=f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求證:當(dāng)t>0時(shí),f(x)≥g(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)x都成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)f(x)=
x3
3
-
ax2
2
+2x+b
在區(qū)間[-1,2]上不單調(diào),則a的取值范圍為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•樂(lè)山一模)設(shè)函數(shù)f(x)=
x3
3
-(a+1)x2+4ax+b,其中a、b∈R

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值是
1
2
,求a、b的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)在(-1,1)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x3
3
+
1
2
ax2+2bx+c
的兩個(gè)極值分別為f(x1),f(x2),若x1,x2分別在區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi),則b-2a的取值范圍是( 。

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