Question

【題目】由，，，排列而成的項(xiàng)數(shù)列滿足：每項(xiàng)都大于它之前的所有項(xiàng)或者小于它之前的所有項(xiàng)．

（）滿足條件的數(shù)列中，寫出所有的單調(diào)數(shù)列．

（）當(dāng)時(shí)，寫出所有滿足條件的數(shù)列．

（）滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)是多少？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】），，，，；（）見(jiàn)解析；（）個(gè)．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意：每項(xiàng)都大于它之前的所有項(xiàng)或者小于它之前的所有項(xiàng)，可以寫出結(jié)果；（2）設(shè)所求個(gè)數(shù)為，則, 對(duì)，若排在第位，則它之后的位數(shù)完全確定，只能是，，，，,從而可以找到和的遞推關(guān)系，得到結(jié)論.

解析：

（），，，，；

（）數(shù)列為：1，2，3，4；4，3，2，1;2,1,3,4;3,2,1,4;2,3,1,4;3,2,4,1;3,4,2,1;2,3,4,1；

共8個(gè).

（）設(shè)所求個(gè)數(shù)為，則，

對(duì)，若排在第位，

則它之后的位數(shù)完全確定，

只能是，，，，．

而它之前的位，，，，有種排法，

令，，，，

則，

，

，∴．