【題目】已知四邊形為等腰梯形,,沿對角線旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)至點(diǎn)的位置,此時(shí)滿足.

(1)證明;

(2)求二面角平面角的正弦值.

【答案】(1)詳見解析;(2).

【解析】

(1)先由余弦定理的計(jì)算得到 ,

折疊后,又,故,根據(jù)折疊后不變的一些垂直關(guān)系證得,進(jìn)而得到結(jié)論.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示向量,求得平面的法向量與平面的法向量,計(jì)算再求得正弦即可.

解:(1) 證明:在等腰梯形中,由平面幾何知識(shí)易得,又,由余弦定理可得,則,故,

折疊后,又,故,

,故.

(2)由(1)知,,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

,

設(shè)平面的法向量為,則.

同理可求得平面的法向量

設(shè)二面角的平面角為,則,

結(jié)合圖形可知.

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