(2012•豐臺區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=cosx(
3
cosx-sinx)-
3

(Ⅰ)求f(
π
3
)
的值;
(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]
上的最小值,并求使y=f(x)取得最小值時的x的值.
分析:將函數(shù)解析式第一項利用單項式乘以多項式的法則計算,再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡,最后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù),
(Ⅰ)將x=
π
3
代入化簡后的函數(shù)解析式中,即可求出f(
π
3
)的值;
(Ⅱ)由x的范圍,求出這個角的范圍,利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出函數(shù)y=f(x)的最小值,以及此時x的值.
解答:解:f(x)=cosx(
3
cosx-sinx)-
3

=
3
cos2x-sinxcosx-
3

=
3
1+cos2x
2
)-
1
2
sin2x-
3

=
3
2
cos2x-
1
2
sin2x-
3
2

=cos(2x+
π
6
)-
3
2
,
(Ⅰ)f(
π
3
)=cos(2×
π
3
+
π
6
)-
3
2
=cos
6
-
3
2
=-
3
2
-
3
2
=-
3

(Ⅱ)∵0≤x≤
π
2
,∴
π
6
≤2x+
π
6
6
,
則當2x+
π
6
=π,即x=
12
時,函數(shù)y=f(x)有最小值是-1-
3
2
點評:此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式,二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式,余弦函數(shù)的定義域與值域,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握公式是解本題的關鍵.
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96
96
種.

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x-4,x≥0
x2-2x,x<0
的“姐妹點對”的個數(shù)為
1
1
;當函數(shù)g(x)=ax-x-a有“姐妹點對”時,a的取值范圍是
a>1
a>1

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(2012•豐臺區(qū)二模)某地區(qū)恩格爾系數(shù)y(%)與年份x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
年份x 2004 2005 2006 2007
恩格爾系數(shù)y(%) 47 45.5 43.5 41
從散點圖可以看出y與x線性相關,且可得回歸方程為
?
y
=
?
b
x+4055.25
,據(jù)此模型可預測2012年該地區(qū)的恩格爾系數(shù)(%)為
31.25
31.25

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