【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)底數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

（3）已知，若函數(shù)對任意都成立，求的最大值.

【答案】（1）（2）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求切線斜率：，再根據(jù)點斜式求切線方程為，即．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，從導(dǎo)函數(shù)出發(fā)，研究其零點情況：當(dāng)時，，無零點，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增．（3）不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題：，當(dāng)時，函數(shù)無最小值；當(dāng)時，函數(shù)最小值為0，，此時；當(dāng)時，，，，最后研究函數(shù)最大值

試題解析：解：（1）當(dāng)時，，，， 2分

∴函數(shù)在點處的切線方程為，

即． 4分

（2）∵，

①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 6分

②當(dāng)時，由得，

∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． 9分

（3）由（2）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴不可能恒成立； 10分

當(dāng)時，，此時； 11分

當(dāng)時，由函數(shù)對任意都成立，得，

∵，∴ 13分

∴，

設(shè)，∴ ，

由于，令，得，，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減．

∴，即的最大值為，

此時． 16分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnax﹣ （a≠0）．
（1）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；
（2）求證：對于任意正整數(shù)n，均有1+ + …+ ≥ln （e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在底面是正方形的四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是PC中點，G為AC上一點．

（1）求證：BD⊥FG；
（2）確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說明理由；
（3）當(dāng)二面角B﹣PC﹣D的大小為 時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對生產(chǎn)的700個零件進(jìn)行抽樣測試，先將700個零件進(jìn)行編號001，002，…，699，700．從中抽取70個樣本，如圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第5個樣本編號是（ ）

A.607
B.328
C.253
D.007

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是π，若將其圖象向右平移 個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f（x）的圖象（ ）
A.關(guān)于直線x= 對稱
B.關(guān)于直線x= 對稱
C.關(guān)于點（ ，0）對稱
D.關(guān)于點（ ，0）對稱

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓，點B是其下頂點，過點B的直線交橢圓C于另一點A（A點在軸下方），且線段AB的中點E在直線上.

（1）求直線AB的方程；

（2）若點P為橢圓C上異于A、B的動點，且直線AP,BP分別交直線于點M、N，證明：OM·ON為定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本題滿分16分）數(shù)列， ， 滿足： ， ， ．

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）若數(shù)列， 都是等差數(shù)列，求證：數(shù)列從第二項起為等差數(shù)列；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，試判斷當(dāng)時，數(shù)列是否成等差數(shù)列？證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若定義在[a，b]上的函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+1的值域為[﹣3，1]，則b﹣a的最大值是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=mex﹣x﹣1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，），若f（x）=0有兩根x1 ， x2且x1＜x2 ， 則函數(shù)y=（e ﹣e ）（ ﹣m）的值域為 ．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案