Question

設(shè)函數(shù)滿足且．

（1）求證，并求的取值范圍；

（2）證明函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析，（3）.

【解析】

試題分析：（1）由等量關(guān)系消去C是解題思路，揭示a為正數(shù)是解題關(guān)鍵，本題是典型題，實(shí)質(zhì)是三個(gè)實(shí)數(shù)和為零，則最大的數(shù)必為正數(shù)，最小的數(shù)必為負(fù)數(shù)，中間的數(shù)不確定，通常被消去，（2）證明區(qū)間內(nèi)有解首選零點(diǎn)存在定理.連續(xù)性不是高中數(shù)學(xué)考核的知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考核的是區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào).要確定區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)，需恰當(dāng)選擇區(qū)間端點(diǎn)，這是應(yīng)用零點(diǎn)存在定理的難點(diǎn)，本題符號(hào)確定，但符號(hào)不確定．由于兩者符號(hào)與有關(guān)，所以需要對(duì)進(jìn)行討論，（3）要求的取值范圍，需先運(yùn)用韋達(dá)定理建立函數(shù)解析式（二次函數(shù)），再利用（1）的范圍（定義域），求二次函數(shù)值域.本題思路簡(jiǎn)單，但不能忽視定義域在解題中作用.

試題解析：（1）由題意得，

又， 2分

由，得

，，得 5分

（2），

又，

若則，在上有零點(diǎn)；

若則，在上有零點(diǎn)

函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) 9分

（3）

， 13分

考點(diǎn)：二次函數(shù)值域，零點(diǎn)存在定理.