Question

【題目】設數列是公差不為零等差數列，滿足；數列的前項和為，且滿足.

（1）求數列、的通項公式；

（2）在和之間插入1個數，使成等差數列；在和之間插入2個數，使成等差數列；……；在和之間插入個數，使成等差數列，

（i）求；

（ii）是否存在正整數，使成立？若存在，求出所有的正整數對；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）（ii）及.

【解析】

（1）設數列的公差為，將已知條件用表示，解方程組，即可求出；令，得出為等比數列，即可求出通項；

（2）（i）由題意成等差數列，求出的通項公式，進而求出就為數列的前項和，利用錯位相減法即可求解；

（ii）根據已知得出的函數關系，利用，結合函數值的變化，即可求解.

（1）設數列的公差為

則由條件，

可得，，

又由，

可得，

將代入上式得，

由 ①

當時， ②

①-②得：

又

是首項為，公比為的等比數列，

故

（2）①在和之間插入個數，

因為成等差數列，設公差為

則，

則，

，

①

則 ②

①-②得：，

②若，因為，所以，

則，

，

從而，

故，

當時，，

當時，，

當時，，

下證時，有，

即證，

設，

則，

在上單調遞增，

故時，

即，

從而時，不是整數

故所求的所有整數對為及.