Question

5．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三有形，且過(guò)點(diǎn)M（2，$\sqrt{2}$）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，求|PA|•|PB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意畫(huà)出圖形，列出關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出過(guò)點(diǎn)P的直線的參數(shù)方程，與橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于t的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求得|PA|•|PB|的取值范圍．

解答 解：（1）如圖，由題意設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4．
∴橢圓方程為：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.（t為參數(shù)）$，
代入橢圓方程并整理得t²（cos²α+2sin²α）+4t（cocα+sinα）-2=0．
則${t_1}{t_2}=\frac{-2}{{{{cos}^2}α+2{{sin}^2}α}}$，
∴|PA||PB|=$\frac{2}{co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}=\frac{2}{1+si{n}^{2}α}$∈[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，訓(xùn)練了利用參數(shù)方程求解直線與橢圓的相交關(guān)系問(wèn)題，是中檔題．