Question

已知實數(shù)a、b、c滿足條件0≤a+c-2b≤1，且2^a+2^b≤2^1+c，則

2a-2b

2c

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結合,轉化思想

分析：由2^a+2^b≤2^1+c，得2^a-c+2^b-c≤2，由0≤a+c-2b≤1得0≤（a-c）-2（b-c）≤1，然后由指數(shù)函數(shù)的單調性得到1≤2^{（a-c）-2（b-c）}≤2，再令x=2^b-c，y=2^a-c，即可得到x+y≤2，x²≤y≤2x²，x＞0，y＞0，則求

2a-2b

2c

的范圍可轉化為求目標函數(shù)t=y-x的范圍．然后利用線性規(guī)劃知識求解．

解答： 解：由2^a+2^b≤2^1+c，得2^a-c+2^b-c≤2，
由0≤a+c-2b≤1，得0≤（a-c）-2（b-c）≤1，
于是有1≤2^{（a-c）-2（b-c）}≤2，
即1≤

2a-c

22(b-c)

≤2．設x=2^b-c，y=2^a-c，
則有x+y≤2，x²≤y≤2x²，x＞0，y＞0，

2a-2b

2c

=y-x．
在平面直角坐標系xOy中作出點（x，y）所表示的平面區(qū)域，并設y-x=t．
如圖，

當直線y-x=t與曲線y=x²相切時，t最小．
此時令y′=2x=1，解得x=

1

2

，于是y=

1

4

，
∴t_min=

1

4

-

1

2

=-

1

4

．
當直線過點A時，t最大．
由

y=2x2 x+y=2

，解得A（

-1+ 17

4

，

9- 17

4

），
∴t_max=

9- 17

4

-

-1+ 17

4

=

5- 17

2

．
因此

2a-2b

2c

的取值范圍是[-

1

4

，

5- 17

2

]．
故答案為：[-

1

4

，

5- 17

2

]．

點評：本題含三個變量，解題時要注意通過換元減少變量的個數(shù)．利用消元、換元等方法進行減元的思想是近年高考填空題中難點和熱點，對于層次很好的學生值得關注．該題屬難題．