.如圖,已知A(-2,0),B(2,0),等腰梯形ABCD滿足|AB|=-2|CD|,E為AC上一點,且。又以A、B為焦點的雙曲線過C、D、E三點。若,則雙曲線離心率e的取值范圍為( )
A. B. C. D.
A
解析考點:雙曲線的簡單性質(zhì).
分析:如圖,在直角坐標(biāo)系中,記雙曲線的半焦距為c(c=2),h是梯形的高,用定比分點坐標(biāo)公式可求得E點坐標(biāo)x0和y0的表達(dá)式.設(shè)雙曲線方程,將點C、E坐標(biāo)和e分別代入雙曲線方程聯(lián)立后求得e和h的關(guān)系式,根據(jù)λ的范圍求得e的范圍.
解:如圖,以AB的垂直平分線為γ軸,直線AB為x軸,建立直角坐標(biāo)系xOγ,則CD⊥γ軸.
因為雙曲線經(jīng)過點C、D,且以A、B為焦點,由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于γ軸對稱,
設(shè)c為雙曲線的半焦距(c=2),
依題意,記 A(-c,0),C(,h),E(x0,y0),
h是梯形的高,
由定比分點坐標(biāo)公式得 x0==,γ0=.
設(shè)雙曲線的方程為 -=1,則離心率 e=,
由點C、E在雙曲線上,將點C、E坐標(biāo)和 e=代入雙曲線的方程,得 -=1,①
()2-()2=1.②
由①式得=-1,③
將③式代入②式,整理得(4-4λ)=1+2λ,
故 λ=1-
由題設(shè) ≤λ≤得,≤1-≤,
解得 ≤e≤,
所以,雙曲線的離心率的取值范圍為[,].
故選A.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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AE |
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3 |
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.如圖,已知A(-2,0),B(2,0),等腰梯形ABCD滿足|AB|=-2|CD|,E為AC上一點,且。又以A、B為焦點的雙曲線過C、D、E三點。若,則雙曲線離心率e的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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