【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

⑴當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；

⑵討論的單調(diào)性；

⑶當(dāng)時(shí)，證明.

【答案】（1）（2）見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程；

（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，對(duì)分和兩種情況進(jìn)行分類討論，研究導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）證明不等式成立等價(jià)于證明成立，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.

（1）當(dāng)時(shí)，.

所以，

所以，又.

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即.

（2）易得（）.

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，得.

則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在處取得最大值，

即

，

則等價(jià)于，即，

即.（※）

令，則.不妨設(shè)（），

所以（）.

從而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí).

所以當(dāng)時(shí)，總有.

即當(dāng)時(shí)，不等式（※）總成立，

故當(dāng)時(shí)，成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線的斜率為，與拋物線交于，兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)，處的切線分別為，，兩條切線的交點(diǎn)為．

（1）證明：；

（2）若的外接圓與拋物線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“柯西不等式”是由數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的，但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為柯西﹣﹣布尼亞科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式推廣到完善的地步，在高中數(shù)學(xué)選修教材4﹣5中給出了二維形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc（即）時(shí)等號(hào)成立．該不等式在數(shù)學(xué)中證明不等式和求函數(shù)最值等方面都有廣泛的應(yīng)用．根據(jù)柯西不等式可知函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)x的值分別為（　�。�

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求和的參數(shù)方程；

（2）已知射線，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，且與交于兩點(diǎn)， 與交于兩點(diǎn)，求取得最大值時(shí)點(diǎn)的極坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，，平面平面ABC，點(diǎn)D在線段BC上，且，F是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是PD上的動(dòng)點(diǎn).

（1）證明：.

（2）當(dāng)EF//平面PAC時(shí)，求三棱錐C-DEF的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，記，；

（1）求實(shí)數(shù)、的值；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；

（3）對(duì)于定義在上的函數(shù)，設(shè)，，用任意將劃分成個(gè)小區(qū)間，其中，若存在一個(gè)常數(shù)，使得不等式恒成立，則稱函數(shù)為在上的有界變差函數(shù)，試證明函數(shù)是在上的有界變差函數(shù)，并求出的最小值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知△ABC中，角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且bcosC﹣ccosBa2，tanB＝3tanC，則a＝_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，.已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點(diǎn)（x0，y0）處有相同的切線，

（i）求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于0；

（ii）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求b的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），且直線與曲線交于兩點(diǎn)，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2） 已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值

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