min{p,q}=
p,p≤q
q.p>q

(1)若函數(shù)f(x)=min{
x
,
2
3
(x-1)}
,求f(x)表達(dá)式
(2)求f(x)=min{3|x-p1|,2×3|x-p2|)}=3|x-p1|,對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立的充分必要條件(用p1,p2表示);
(3)若f(x)=min{3|x-p1|,2×3|x-p2|)},且f(a)=f(b)(a,bp1,p2為實(shí)數(shù),且a<bp1,p2∈(a,b))求f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度和(閉區(qū)間[m,n]的長度定義為n-m).
(1)f(x)=
x
  
x
2
3
(x-1)
2
3
(x-1)
  
x
2
3
(x-1)

=
x
  ,x∈[4,+∞)
&
2
3
(x-1)
 & &x∈[0,4)
5分
(2)由f(x)的定義可知,f(x)=3|x-p1|這等價(jià)于3|x-p1|≤2•3|x-p2|(對(duì)所有實(shí)數(shù)x)
即 3|x-p1|-|x-p2|3log32=2對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立.(*)                  8分
由于|x-p1|-|x-p2|≤|(x-p1)-(x-p2)|=|p1-p2|(x∈R)的最大值為|p1-p2|,
故(*)等價(jià)于3|p1-p2|≤2,即|p1-p2|≤log32,這就是所求的充分必要條件      11分
(3)1°如果|p1-p2|≤log32,則的圖象關(guān)于直線x=p1對(duì)稱.因?yàn)閒(a)=f(b),
所以區(qū)間[a,b]關(guān)于直線x=p1對(duì)稱.因?yàn)闇p區(qū)間為[a,p1],增區(qū)間為[p1,b],
所以單調(diào)增區(qū)間的長度和為
b-a
2
14分
2°如果|p1-p2|>log32.
(1)當(dāng)p1-p2>log32時(shí).f1(x)=
3x-p1,x∈[p1,b]
3p1-x,x∈[a,p1]
,f2(x)=
3x-p2+log32,x∈[p2,b]
3p 2-x+log32,x∈[a,p2]

當(dāng)x∈[p1,b],
f1(x)
f2(x)
=3p2-p1-log3230
=1,因?yàn)閒1(x)>0,f2(x)>0,所以f1(x)<f2(x),
故f(x)=f1(x)=3x-p1,當(dāng)x∈[a,p2],
f1(x)
f2(x)
=3p1-p2-log3230
=1,因?yàn)閒1(x)>0,f2(x)>0,
所以f1(x)>f2(x)故f(x)=f2(x)=3p2-x+log32
因?yàn)閒(a)=f(b),所以3b-p1=3p2-a+log32,即a+b=p1+p2+log32
當(dāng)x∈[p2,p1]時(shí),令f1(x)=f2(x),則3p1-x=3x-p2+log32,所以x=
p1+p2-log32
2

當(dāng)x∈[p2,
p1+p2-log32
2
]時(shí),f1(x)≥f2(x),所以f(x)=f2(x)=3x-p2+log32x∈[
p1+p2-log32
2
p1
]時(shí),f1(x)≤f2(x),所以f(x)=f1(x)=3p1-xf(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度和b-p1+
p1+p2-log32
2
-p2

=b-
p1+p2+log32
2
=b-
a+b
2
=
b-a
2
16分
(2)當(dāng)p2-p1>log32時(shí).類似可求得:f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度和b-p2+
p1+p2+log32
2
-p1
=b-
p1+p2-log32
2
=
b-a
2

綜上得f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為
b-a
2
18分.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

min{p,q}=
p,?當(dāng)p≤q
q.?當(dāng)p>q
.若函數(shù)f(x)=min{3+log
1
4
x,log2x}
,
用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)f(x)的解析式,并求f(x)<2的解集.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy上,給定拋物線L:y=
1
4
x2.實(shí)數(shù)p,q滿足p2-4q≥0,x1,x2是方程x2-px+q=0的兩根,記φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}.
(1)過點(diǎn),A(p0,
1
4
p02)(p0≠0),作L的切線交y軸于點(diǎn)B.證明:對(duì)線段AB上的任一點(diǎn)Q(p,q),有φ(p,q)=
|p0|
2

(2)設(shè)M(a,b)是定點(diǎn),其中a,b滿足a2-4b>0,a≠0.過M(a,b)作L的兩條切線l1,l2,切點(diǎn)分別為E(p1,
1
4
p
2
1
),E′(p2
1
4
p22),l1,l2與y軸分別交于F,F(xiàn)′.線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X.證明:M(a,b)∈X?|P1|<|P2|?φ(a,b)=
|p1|
2

(3)設(shè)D={ (x,y)|y≤x-1,y≥
1
4
(x+1)2-
5
4
}.當(dāng)點(diǎn)(p,q)取遍D時(shí),求φ(p,q)的最小值 (記為φmin)和最大值(記為φmax

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

min{p,q}=
p,p≤q
q.p>q

(1)若函數(shù)f(x)=min{
x
,
2
3
(x-1)}
,求f(x)表達(dá)式
(2)求f(x)=min{3|x-p1|,2×3|x-p2|)}=3|x-p1|,對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立的充分必要條件(用p1,p2表示);
(3)若f(x)=min{3|x-p1|,2×3|x-p2|)},且f(a)=f(b)(a,bp1,p2為實(shí)數(shù),且a<bp1,p2∈(a,b))求f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度和(閉區(qū)間[m,n]的長度定義為n-m).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8,若max{p,q}表示p,q中較大者,min{p,q}表示p,q中的較小者,設(shè)G(x)=max{f(x),g(x)},H(x)=min{f(x),g(x)},記G(x)的最小值為A,H(x)的最大值為B,則A-B=
 

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