Question

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與直線相切于點(diǎn)

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）在圓上是否存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？若存在,寫(xiě)出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）由已知得圓心經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，0）、且與y=2x﹣8垂直的直線上，它又在線段OP的中垂線x=2上，求得圓心C（2，1），半徑為，可得圓C的方程．

（Ⅱ）假設(shè)存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線y=kx﹣1對(duì)稱，則y=kx﹣1通過(guò)圓心C（2，1），求得k=1，設(shè)直線MN為y=﹣x+b，代入圓的方程，利用韋達(dá)定理及 =0，求得b的值，可得結(jié)論．

（Ⅰ）法一：由已知，得圓心在經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線上，它又在線段的中垂線上，所以求得圓心，半徑為.

所以圓的方程為.

(細(xì)則：法一中圓心3分，半徑1分，方程2分)

法二：設(shè)圓的方程為，

可得

解得,

所以圓的方程為

(細(xì)則：方程組中一個(gè)方程1分)

（Ⅱ）假設(shè)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則通過(guò)圓心，求得，

所以設(shè)直線為

代入圓的方程得，

設(shè)，，則

解得或

這時(shí)，符合題意，所以存在直線為或符合條件

(細(xì)則：未判斷的扣1分).