精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,拋物線y=
1
18
x2-
4
9
x-10與x軸的交點(diǎn)為A,與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線BC,交拋物線于點(diǎn)C,連接AC、現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從O,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng),點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).線段OC,PQ相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE∥OA,交CA于點(diǎn)E,射線QE交x軸于點(diǎn)F.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P,Q移動(dòng)的時(shí)間為t(單位:秒)
(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PQCA為平行四邊形?請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程;
(3)當(dāng)t∈(0,
9
4
)時(shí),△PQF的面積是否總為定值?若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)當(dāng)t為何值時(shí),△PQF為等腰三角形?請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程.
分析:(1)在y=
1
18
x2-
4
9
x-10中,令y=0可求A,令x=0,可求B;由BC∥x軸,可得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-10.由-10=
1
18
x2-
4
9
x-10可求C,由y=
1
18
x2-
4
9
x-10=
1
18
(x-4)2-
98
9
可求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)
(2)若四邊形PQCA為平行四邊形,由于QC∥PA,故只要QC=PA即可求解.
(3)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒,則OP=4t,QC=t,且0<t<4.5,說(shuō)明點(diǎn)P在線段OA上,且不與點(diǎn)O,A重合.由QC∥OP,可得
QD
PD
=
CD
OD
=
QC
OP
=
t
4t
=
1
4
.同理QC∥AF,而
QC
AF
=
CE
AE
=
CD
OD
=
1
4
,即
t
AF
=
1
4
.代入三角形的面積公式S△PQF=
1
2
PF•OB
(4)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒,則P(4t,0),F(xiàn)(18+4t,0),Q(8-t,-10)t∈(0,4.5).從而有PQ2=(4t-8+t)2+102=(5t-8)2+100,F(xiàn)Q2=(18+4t-8+t)2+102=(5t+10)2+100.分①若FP=FQ②若QP=QF,③若PQ=PF分別進(jìn)行求解
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)在y=
1
18
x2-
4
9
x-10中,令y=0
得x2-8x-180=0.
解得x=-10或x=18,
∴A(18,0).(1分)
在y=
1
18
x2-
4
9
x-10中,令x=0,得y=-10.
∴B(0,-10).(2分)
∵BC∥x軸,
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-10.
由-10=
1
18
x2-
4
9
x-10得x=0或x=8.
∴C(8,-10).(3分)
∵y=
1
18
x2-
4
9
x-10=
1
18
(x-4)2-
98
9

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-
98
9
).(4分)
(2)若四邊形PQCA為平行四邊形,由于QC∥PA,故只要QC=PA即可.
∵QC=t,PA=18-4t,
∴t=18-4t.
解得t=
18
5
.(6分)
(3)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒,則OP=4t,QC=t,且0<t<2.5,說(shuō)明點(diǎn)P在線段OA上,且不與點(diǎn)O,A重合.
∵QC∥OP,
QD
PD
=
CD
OD
=
QC
OP
=
t
4t
=
1
4

同理QC∥AF,
QC
AF
=
CE
AE
=
CD
OD
=
1
4
,即
t
AF
=
1
4

∴AF=4t=OP.
∴PF=PA+AF=PA+OP=18.(8分)
∴S△PQF=
1
2
PF•OB=
1
2
×18×10=90
∴△PQF的面積總為定值90.(9分)
(4)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒,則P(4t,0),F(xiàn)(18+4t,0),Q(8-t,-10)t∈(0,4.5).
∴PQ2=(4t-8+t)2+102=(5t-8)2+100,F(xiàn)Q2=(18+4t-8+t)2+102=(5t+10)2+100,PF=18
①若FP=FQ,則182=(5t+10)2+100.
即25(t+2)2=224,(t+2)2=
224
25

∵0<t<4.5,
∴2<t+2<6.5,
∴t+2=
224
25
=
4
14
5

∴t=
4
14
5
-2.(11分)
②若QP=QF,則(5t-8)2+100=(5t+10)2+100.
即(5t-8)2=(5t+10)2,無(wú)0≤t≤4.5的t滿足.(12分)
③若PQ=PF,則(5t-8)2+100=182
即(5t-8)2=224,由于
224
≈15,又0≤5t≤22.5,
∴-8≤5t-8≤14.5,而14.52=(
29
2
2=
841
4
<224.
故沒(méi)有0<t<4.5的t滿足此方程.(13分)
注:也可解出t=
8-4
14
5
<0或t=
8+4
14
5
>4.5均不合題意,
故無(wú)0≤t≤4.5的t滿足此方程.
綜上所述,當(dāng)t=
4
14
5
-2時(shí),△PQF為等腰三角形.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與拋物線的綜合考查,要求考試能夠利用基本知識(shí)進(jìn)行一定的推理,要求考試具備一定的邏輯推理的能力,有很強(qiáng)的解決問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△OAB中,點(diǎn)P是線段OB及線段AB延長(zhǎng)線所圍成的陰影區(qū)域(含邊界)的任意一點(diǎn),且
OP
=x
OA
+y
OB
則在直角坐標(biāo)平面內(nèi),實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)所示的區(qū)域在直線y=4的下側(cè)部分的面積是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

1、如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為a,中心在原點(diǎn)O的正六邊形ABCDEF,AB∥Ox.直線L:y=kx+t(k為常數(shù))與正六邊形交于M、N兩點(diǎn),記△OMN的面積為S,則函數(shù)S=f(t)的奇偶性為
偶函數(shù)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為a、中心在原點(diǎn)O的正六邊形ABCDEF,AB∥Ox.直線L:y=kx+t(k為常數(shù))與正六邊形交于M、N兩點(diǎn),記△OMN的面積為S,則函數(shù)S=f(t)的奇偶性為( 。
A、偶函數(shù)B、奇函數(shù)C、不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)D、奇偶性與k有關(guān)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•海珠區(qū)一模)如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),射線OT落在60°的終邊上,任作一條射線OA,OA落在∠x(chóng)OT內(nèi)的概率是
1
6
1
6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,一定長(zhǎng)m的線段,其端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng),設(shè)點(diǎn)M滿足(λ是大于0,且不等于1的常數(shù)).

試問(wèn):是否存在定點(diǎn)E、F,使|ME|、|MB|、|MF|成等差數(shù)列?若存在,求出E、F的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案