已知拋物線y2=4ax(a>0)的焦點(diǎn)為F,以點(diǎn)A(a+4,0)為圓心,|AF|為半徑的圓在x軸的上方與拋物線交于M、N兩點(diǎn).
(I)求證:點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)F的橢圓上;
(II)設(shè)點(diǎn)P為MN的中點(diǎn),是否存在這樣的a,使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng)?如果存在,求出實(shí)數(shù)a的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)由題中易知F的坐標(biāo)為(a,0),故|FA|=4所以,該圓的方程為(x-a-4)
2+y
2=16.因此要證明點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)的橢圓上只需證明|AM|+|AN|=定值且|MN|<|AM|+|AN|即可根據(jù)橢圓的定義得出證明.而要證明以M、N為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)F
只需證明|FM|+|FN|=定值且|MN|<|FM|+|FN|,而|FM|,|FN|是拋物線的兩個(gè)過(guò)焦點(diǎn)的弦因而根據(jù)拋物線的定義可得:|FM|=x
1+a,|FN|=x
2+a所以|FM|+|FN|=x
1+x
2+2a所以需要聯(lián)立方程.
(2)可假設(shè)存在這樣的a,使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng)則2|FP|=|FM|+|FN|=8即|FP|=4.設(shè)P的坐標(biāo)為
(x0,y0),則有x0==4-a,
y0==×
利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|FP|=4中與x
1+x
2,x
1x
2間的關(guān)系代入求解即可,要注意在0<a<1的條件下取舍.
解答:(本小題滿(mǎn)分13分)
解:(I)因?yàn)樵搾佄锞的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(a,0),故|FA|=4
所以,該圓的方程為(x-a-4)
2+y
2=16,
它與y
2=4ax在x軸的上方交于M(x
1,y
1),N(x
2,y
2)(y
1>0,y
2>0,x
1>0,x
2>0)
把y
2=4ax代入到(x-a-4)
2+y
2=16中并化簡(jiǎn)得:
| x2+(2a-8)x+a2+8a=0,由題意: | | △=(2a-8)2-4(a2+8a)>0,① | x1+x2=8-2a>0,② | x1x2=a2+8a>0,③ |
| |
|
| |
由①②③得0<a<1
又由拋物線定義可得:|FM|=x
1+a,|FN|=x
2+a
所以|FM|+|FN|=x
1+x
2+2a=8
而|MN|<|FM|+|FN|=8
又點(diǎn)F,M,N均在圓上,所以,|AN|=|AM|=|AF|=4
所以,|AM|+||AN=8,
因?yàn),|AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8,|MN|<8
所以,點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)F的橢圓上,…(8分)
(II)若存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a,
則有2|FP|=|FM|+|FN|=8?|FP|=4
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(x0,y0),則有x0==4-a,,
| y0==(+) | 由|PF|=4得(4-a-a)2+a(+)2=16 | ?4a2-16a+a(x1+x2+2)=0 |
| |
由(2)(3)得
8a-2a2=2a?a=0或a=1這與0<a<1矛盾
故不存在這樣的a,使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng) …(13分)
點(diǎn)評(píng):本題第一問(wèn)主要考查了利用橢圓的定義來(lái)證明點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)F的橢圓上關(guān)鍵是|AM|+|AN|=定值且|MN|<|AM|+|AN|和|FM|+|FN|=定值且|MN|<|FM|+|FN|的證明這可以利用橢圓和圓的性質(zhì)得到.而對(duì)于第二問(wèn)常用假設(shè)a存在然后再利用題中的條件求出a但要與a的范圍比較,若在此范圍內(nèi)則存在否則不存在.