Question

已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，

且f(m＋x)＝f(m－x)．

(1)求證：f(x)的圖象關于直線x＝m對稱；

(2)若x∈[0，2m](m＞0)時，f(x)＝，

試畫出函數(shù)y＝(x＋m)的圖象．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　對于第(1)小題，仿照原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象關于直線y＝x對稱的證法；對第(2)小題，采用平方法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為圓的標準方程，有助于化生為熟． 　　解答　　(1)設P(x0，y0)是函數(shù)y＝f(x)的圖象上任意一點，則y0＝f(x0)，設點P關于直線x＝m的對稱點為，則的坐標為(2m－x0，y0)，由題設f(x＋m)＝f(m－x)． 　　得f(2m－x0)＝f(m＋m－x0)＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y(tǒng)0 　　即說明點(2m－x0，y0)也在函數(shù)y＝f(x)的圖象上．∵P是函數(shù)y＝f(x)的圖象上的任意一點， 　　∴y＝f(x)的圖象關于直線x＝m對稱． 　　(2)對y＝兩邊平方，變形得 　　(x－m)2＋y2＝m2(y≥0) 　　這表明當x∈[0，2m]時，f(x)的圖象是以點(m，0)為圓心，m為半徑的圓的上半部分，將其向左平移m個單位，即得函數(shù)y＝f(x＋m)的圖象，如圖中的實線部分． 　　評析　　將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為解析幾何中的曲線標準方程，有助于我們識別函數(shù)的圖象，這也是常用的化歸技巧．