Question

【題目】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=π/2，AB=BC=2AD=4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．
（1）當x=2時，①求證：BD⊥EG；②求二面角D﹣BF﹣C的余弦值；
（2）三棱錐D﹣FBC的體積是否可能等于幾何體ABE﹣FDC體積的一半？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）①證明：過D點作EF的垂線交EF于H，連接BH．如圖．

∵AE=AD=2，且AE∥DH，AD∥EF，∠A= ．

∴四邊形ADHE是正方形

∵EH=2

∴四邊形EHGB是正方形

即：BH⊥EG（正方形對角線互為垂直）

∵△BDH所在平面⊥平面EHGB，

∴EG⊥△BDH所在平面

即：BD⊥EG．

②解：以E為原點，EB為x軸，EF為y軸，

EA為z軸，建立空間直角坐標系，

B（2，0，0），F(xiàn)（0，3，0），

D（0，2，2），C（2，4，0），

=（﹣2，3，0）， =（﹣2，2，2），

設平面BDF的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=3，得 =（3，2，1），

又平面BCF的法向量 =（0，0，1），

cos＜ ＞= = = ．

∴二面角D﹣BF﹣C的余弦值為

（2）解：∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，

平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE平面AEFD．

∴AE⊥面EBCF．結合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，

∴四邊形AEHD是矩形，得DH=AE，

故以F、B、C、D為頂點的三棱錐D﹣BCF的高DH=AE=x，

又∵S△BCF= BCBE= =8﹣2x．

∴三棱錐D﹣BCF的體積為V= = = ，

VABE﹣FDC=VABE﹣DGH+VD﹣HGCF

=

=

= ＞2V，

∴棱錐D﹣FBC的體積不可能等于幾何體ABE﹣FDC體積的一半．

【解析】（1）①：過D點作EF的垂線交EF于H，連接BH，由已知得四邊形ADHE是正方形，四邊形EHGB是正方形，由此能證明BD⊥EG．②以E為原點，EB為x軸，EF為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D﹣BF﹣C的余弦值．（2）由已知得三棱錐D﹣BCF的體積為V= = = ，VABE﹣FDC=VABE﹣DGH+VD﹣HGCF= ＞2V，從而棱錐D﹣FBC的體積不可能等于幾何體ABE﹣FDC體積的一半．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．