3.設(shè)直線l與拋物線x2=4y相交于A,B兩點(diǎn),與圓x2+(y-5)2=r2(r>0)相切于點(diǎn)M,且M為線段AB中點(diǎn),若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是( 。
A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)

分析 確定M的軌跡是直線x=3,代入拋物線方程可得x=±2$\sqrt{3}$所以交點(diǎn)與圓心(0,5)的距離為4,即可得出結(jié)論.

解答 解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
斜率存在時,設(shè)斜率為k,則x12=4y1,x22=4y2,
$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=4{y}_{1}}\\{{{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}}\end{array}\right.$,相減,得(x1+x2)(x1-x2)=4(y1-y2),
當(dāng)l的斜率存在且不為0時,利用點(diǎn)差法可得2k=x0,
因為直線與圓相切,所以$\frac{{y}_{0}-5}{{x}_{0}}=-\frac{1}{k}$,所以y0=3,
即M的軌跡是直線y=3.將y=3代入x2=4y,得x2=12,∴-2$\sqrt{3}$<x0<2$\sqrt{3}$.
∵M(jìn)在圓上,∴x02+(y0-5)2=r2(r>0),∴r2=${{x}_{0}}^{2}+4≤12+4=16$
∵直線l恰有4條,∴x0≠0,∴4<r2<16,
故2<r<4時,直線l有2條;
斜率為0時,直線l有2條;
所以直線l恰有4條,2<r<4,
故選:D.

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系,考查點(diǎn)差法,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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13.已知集合M={-2,-1,0},N={x|$\frac{1}{2}$≤2x≤4,x∈R},則M∩N( 。
A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1}

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14.△ABC的頂點(diǎn)A(5,0),B(-5,0),△ABC的周長為22,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是(  )
A.$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{11}=1$B.$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{11}=1$
C.$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{11}=1({y≠0})$D.$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1({y≠0})$

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11.若點(diǎn)P是雙曲線C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a>0,b>0)的漸近線上任意一點(diǎn),下列正確的是( 。
A.存在過點(diǎn)P的直線與雙曲線相切
B.不存在過點(diǎn)P的直線與雙曲線相切
C.至少存在一條過點(diǎn)P的直線與該雙曲線沒有交點(diǎn)
D.存在唯一過點(diǎn)P的直線與該雙曲線沒有交點(diǎn)

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18.以原點(diǎn)為頂點(diǎn),x軸為對稱軸的拋物線的焦點(diǎn)在直線2x-4y-11=0上,則此拋物線的方程是(  )
A.y2=11xB.y2=-11xC.y2=22xD.y2=-22x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=cosx(x∈[0,2π])的圖象和直線$y=\frac{1}{2}$的交點(diǎn)個數(shù)是(  )
A.0B.1C.2D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.等差數(shù)列{an}中,a2=15,a4=9,則S5=60.

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12.已知x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}2x-y≥0\\ x+y-1≥0\\ x-2y-1≤0\end{array}\right.$,則$\frac{y-1}{x+1}$的取值范圍是( 。
A.$[-\frac{5}{2},-\frac{1}{4}]$B.$[-\frac{5}{2},2]$C.$[-\frac{1}{2},2)$D.$[-\frac{1}{2},+∞)$

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19.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若b=3,c=2$\sqrt{3}$,A=30°,求角B、C及邊a的值.

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同步練習(xí)冊答案