Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（4a-3）x+2a-4，x≤t}\\{2{x}^{3}-6x，x＞t}\end{array}\right.$，無論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上總是不單調(diào)，則a的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由f'（x）=6x²-6，x＞t，知x＞t時，f（x）=2x³-6x一定存在單調(diào)遞增區(qū)間，從而要使無論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）總是不單調(diào)，必須有f（x）=（4a-3）x+2a-4不能為增函數(shù)，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：對于函數(shù)f（x）=2x³-6x，
f'（x）=6x²-6，x＞t
當(dāng)6x²-6＞0時，即x＞1或x＜-1，
此時f（x）=2x³-6x，為增函數(shù)
當(dāng)6x²-6＜0時，-1＜x＜1，
∵x＞t，∴f（x）=2x³-6x一定存在單調(diào)遞增區(qū)間
要使無論t取何值，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）總是不單調(diào)
∴f（x）=（4a-3）x+2a-4不能為增函數(shù)
∴4a-3≤0，∴a≤$\frac{3}{4}$．
故a的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{4}$]．
故答案為：（-∞，$\frac{3}{4}$]．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．