Question

【題目】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖，將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．

（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為"體育迷"與性別有關(guān)．

性別	非體育迷	體育迷	總計(jì)
男
女		10	55
總計(jì)

下面的臨界值表供參考：

	0．15	0．10	0．05	0．25	0．010	0．005	0．001
k	2．072	2．706	3．841	5．024	6．635	7．879	10．828

(參考公式：，其中)

（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列期望和方差．

Answer 1

【答案】（1）2×2列聯(lián)表答案見解析， 在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．

（2）分布列見解析，，．

【解析】

（1）先根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出“體育迷”的人數(shù)，結(jié)合2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得表中其他數(shù)據(jù)，最后根據(jù)公式計(jì)算出的觀測(cè)值，再依據(jù)臨界值表給出判斷.

（2）利用二項(xiàng)分布可得分布列，再利用公式可求期望和方差.

（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中“體育迷”有(人)．由獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)得2×2列聯(lián)表如下：

性別	非體育迷	體育迷	總計(jì)
男	30	15	45
女	45	10	55
總計(jì)	75	25	100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，

得的觀測(cè)值．所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．

（2）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為．

由題意知，∴，

從而X的分布列為：

	0	1	2	3

由二項(xiàng)分布的期望與方差公式得，

.