Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
（Ⅲ）求證：（，e是自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）實數(shù)a的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即判斷在各個區(qū)間上的符號,只需對求導即可；（Ⅱ）當時，不等式恒成立，即恒成立，令 （），只需求出最大值,讓最大值小于等于零即可,可利用導數(shù)求最值,從而求出的取值范圍；（Ⅲ）要證（成立,即證,即證,由（Ⅱ）可知當時，在上恒成立，又因為,從而證出.
試題解析：（Ⅰ）當時，（），（），
由解得，由解得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（Ⅱ）因當時，不等式恒成立，即恒成立，設(shè) （），只需即可．由，
（ⅰ）當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故 成立；
（ⅱ）當時，由，因，所以，①若，即時，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在 上無最大值（或：當時，），此時不滿足條件；②若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣 在上無最大值，不滿足條件 ；
（ⅲ）當時，由，∵，∴，
∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．
（Ⅲ）據(jù)（Ⅱ）知當時，在上恒成立，又，
∵ 
 ，∴．