【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是平行四邊形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EB= ,EF=1,BC= ,且M是BD的中點..
(1)求證:EM∥平面ADF;
(2)求直線DF和平面ABCD所成角的正切值;
(3)求二面角D﹣AF﹣B的大。
【答案】
(1)解:取AD的中點N,連接MN,NF.
在△DAB中,M是BD的中點,N是AD的中點,
∴MN∥AB,MN= AB.
又∵EF∥AB,EF= AB,∴MN∥EF且MN=EF,
∴四邊形MNFE為平行四邊形,可得EM∥FN.
又∵FN平面ADF,EM平面ADF,
∴EM∥平面ADF;
(2)解:取AB中點G,連接FG,DG,則FG∥EB,F(xiàn)G=
∵EB⊥平面ABCD,∴FG⊥平面ABCD,
∴∠FDG為直線DF和平面ABCD所成角
∵BC= ,AB=2,∠ABD=90°,∴BD=3
∵BG=1,∴DG=
∴tan∠FDG= = =
(3)解:因為EB⊥平面ABD,AB⊥BD,故以B為原點,建立空間直角坐標系B﹣xyz.
由已知可得B(0,0,0),A(0,2,0),D(3,0,0),F(xiàn)(0,1, )
∴ =(3,﹣2,0), =(0,﹣1, ).
設平面ADF的一個法向量是 =(x,y,z).
由 ,得 ,令y=3,則 =(2,3, )
因為EB⊥平面ABD,所以EB⊥BD.
又因為AB⊥BD,所以BD⊥平面EBAF.
∴ =(3,0,0)是平面EBAF的一個法向量.
∴cos< >= =
∵二面角D﹣AF﹣B為銳角,
∴二面角D﹣AF﹣B的大小為60°
【解析】(1)取AD的中點N,連接MN、NF.由三角形中位線定理,結合已知條件,證出四邊形MNFE為平行四邊形,從而得到EM∥FN,結合線面平行的判定定理,證出EM∥平面ADF;(2)取AB中點G,連接FG,DG,可得∠FDG為直線DF和平面ABCD所成角,從而可求直線DF和平面ABCD所成角的正切值;(3)求出平面ADF、平面EBAF的一個法向量,利用向量的夾角公式,可求二面角D﹣AF﹣B的大。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】先將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移 個單位,然后再將所得圖象上所有點的縱坐標不變,橫坐標伸長到原來的2倍,最后再將所得圖象向上平移1個單位,得到函數(shù)y=sinx的圖象.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關于點M( ,2)對稱,求函數(shù)y=g(x)在[0, ]上的最小值和最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓: 和拋物線: , 為坐標原點.
(1)已知直線和圓相切,與拋物線交于兩點,且滿足,求直線的方程;
(2)過拋物線上一點作兩直線和圓相切,且分別交拋物線于兩點,若直線的斜率為,求點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學團委組織了“弘揚奧運精神,愛我中華”的知識競賽,從參加考試的學生中抽出60名學生,將其成績(均為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形給出的信息,回答下列問題:
(1)求第四小組的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;
(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分;
(3)從成績是[40,50)和[90,100]的學生中選兩人,求他們在同一分數(shù)段的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知動點P(x,y)滿足方程xy=1(x>0).
(Ⅰ)求動點P到直線l:x+2y﹣ =0距離的最小值;
(Ⅱ)設定點A(a,a),若點P,A之間的最短距離為2 ,求滿足條件的實數(shù)a的取值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一直線l過直線l1:3x﹣y=3和直線l2:x﹣2y=2的交點P,且與直線l3:x﹣y+1=0垂直.
(1)求直線l的方程;
(2)若直線l與圓心在x正半軸上的半徑為 的圓C相切,求圓C的標準方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,DE∥BC,BC=2DE,CA⊥CB,CA⊥CD,CB⊥CD,F(xiàn)、G分別是AC、BC中點.
(1)求證:平面DFG∥平面ABE;
(2)若AC=2BC=2CD=4,求二面角E﹣AB﹣C的正切值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .
(Ⅰ)求cos∠CAD的值;
(Ⅱ)若cos∠BAD=﹣ ,sin∠CBA= ,求BC的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設向量 =(a, ), =(cosC,c﹣2b),且 ⊥ .
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若a=1,求△ABC的周長l的取值范圍.
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