Question

【題目】已知數(shù)列滿足．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求；

（3）設(shè)，問：是否存在非零整數(shù)，使數(shù)列為遞增數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題干中的等式即可求解數(shù)列的通項公式；

（2）先根據(jù)數(shù)列的通項公式求出，再根據(jù)的特點(diǎn)利用錯位相減法求和即可；

（3）先求出，再分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況求解即可．

（1）由題意，數(shù)列滿足……①，

所以當(dāng)時，…… ②，

由①-②，可得，可得，

當(dāng)時，，所以，也滿足上式，

所以．

（2）由（1）知，，

則，

，

兩式相減得，，

所以．

（3）由（1）知，，要使數(shù)列為遞增數(shù)列，

則恒成立，

即恒成立，

整理得恒成立，所以恒成立．

當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，所以；

當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立，所以．

綜上可得，

又因為為非零整數(shù)，所以，

即存在，使數(shù)列為遞增數(shù)列．