Question

14．對(duì)于函數(shù)f（x） 若存在常數(shù)s，使得對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x的值，都有f（x）=-f（2s-x），則稱f（x）為“和諧函數(shù)”，給出下列函數(shù)①f（x）=$\frac{1}{x+1}$  ②f（x）=（x-1）²  ③f（x）=x³+x²+1   ④f（x）=xcosx，其中所有“和諧函數(shù)”的序號(hào)是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①③④

Answer 1

分析 判斷對(duì)于函數(shù)f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)的主要標(biāo)準(zhǔn)是：若存在常數(shù)s，使函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（s，0）對(duì)稱，則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)，由此逐一判斷四個(gè)函數(shù)得答案．

解答 解：對(duì)于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)s，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f（x）=-f（2s-x）知，
函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（s，0）對(duì)稱，
對(duì)于①，f（x）=$\frac{1}{x+1}$，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（-1，0）對(duì)稱，函數(shù)為“和諧函數(shù)”；
對(duì)于②，f（x）=（x-1）²，函無(wú)對(duì)稱數(shù)中心，函數(shù)不是“和諧函數(shù)”；
對(duì)于③，f（x）=x³+x²+1，函數(shù)f（x）不關(guān)于（s，0）中心對(duì)稱圖形，函數(shù)不是“和諧函數(shù)”；
對(duì)于④，f（x）=cosx，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（kπ+$\frac{π}{2}$，0）對(duì)稱，函數(shù)為“和諧函數(shù)”．
∴為“和諧函數(shù)”的是①④．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和應(yīng)用，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（s，0）對(duì)稱，則稱f（x）為“和諧函數(shù)”是關(guān)鍵，是中檔題．