【題目】已知三棱錐內(nèi)接于球O，平面ABC，為等邊三角形，且邊長，球的表面積為，則直線PC與平面PAB所成的角的正弦值為

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

設(shè)D為AB中點(diǎn)，先證明CD⊥平面PAB得出∠CPD為所求角，利用勾股定理計算PA，PD，CD，得出結(jié)論．

解：設(shè)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，AE∩CD＝F，

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CD，

∵△ABC是等邊三角形，∴CD⊥AB，

又PA∩AB＝A，

∴CD⊥平面PAB，即∠CPD為PC與平面PAB所成的角．

∵△ABC是邊長為的等邊三角形，

∴CD＝AE＝，AFAE＝1，且F為△平面ABC所在截面圓的圓心，

∵球O的表面積為16π，∴球O的半徑OA，

∴OF，

∵PA⊥平面ABC，∴PA＝2OF＝2，

∴PD，PC

∴sin∠CPD．

故選：D．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F、G分別為棱A1D1、A1A、A1B1的中點(diǎn)，給出下列四個命題：①EF⊥B1C；②BC1∥平面EFG；③A1C⊥平面EFG；④異面直線FG、B1C所成角的大小為．其中正確命題的序號為（　　 ）

A.①②B.②③C.①②③D.①②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019舉國上下以各種不同的形式共慶新中國成立70周年，某商家計劃以“我和我的祖國"為主題舉辦一次有獎消費(fèi)活動，此商家先把某品牌酒重新包裝，包裝時在每瓶酒的包裝盒底部隨機(jī)印上“中"國"“夢”三個字樣中的一個，之后隨機(jī)裝箱（1箱4瓶），并規(guī)定：若顧客購買的一箱酒中的四瓶酒底部所印的字為同一個字，則此顧客獲得一等獎，此箱灑可優(yōu)惠36元；若顧客購買的一箱酒的四瓶灑底部集齊了“中"“國"二字且僅有此二字，則此顧客獲得二等獎，此箱灑可優(yōu)惠27元；若顧客購買的一箱酒中的四瓶酒的底部集齊了“中”“國"“夢”三個字，則此顧客獲得三等獎，此箱酒可優(yōu)惠18元（注：每箱單獨(dú)兌獎，箱與箱之間的包裝盒不能混）.

（1）①設(shè)為顧客購買一箱酒所優(yōu)惠的錢數(shù)，求的分布列；

②若不計其他損耗，商家重新包裝后每箱酒提價a元，試問a取什么范圍時才能使活動后的利潤不會小于搞活動之前？

（2）若顧客一次性購買3箱酒，并都中獎，可再加贈一張《我和我的祖國》電影票，顧客小張一次性購買3箱酒，共優(yōu)惠了72元，試問小張能否得到電影票，概率多大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地自2014年至2019年每年年初統(tǒng)計所得的人口數(shù)量如下表所示:

年份

2014

2015

2016

2017

2018

2019

人數(shù)/千人

2082

2135

2203

2276

2339

2385

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計算2014年至2018年每年該地人口的增長數(shù)量,并描述該地人口數(shù)量的變化趨勢；

(2)研究人員用函數(shù)擬合該地的人口數(shù)量,其中的單位是年,2014年初對應(yīng)時刻的單位是干人，設(shè)的反函數(shù)為求的值(精確到0.1),并解釋其實(shí)際意義.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放密切相關(guān)，某工廠深人貫徹科學(xué)發(fā)展觀，努力提高污水收集處理水平，其污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理，處理后的污水（A級水）達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)（簡稱達(dá)標(biāo)）的概率為p（0<p<1）.經(jīng)化驗(yàn)檢測，若確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可直接排放；若不達(dá)標(biāo)則必須進(jìn)行B系統(tǒng)處理后直接排放.

某廠現(xiàn)有4個標(biāo)準(zhǔn)水量的A級水池，分別取樣、檢測，多個污水樣本檢測時，既可以逐個化驗(yàn)，也可以將若干個樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有樣本不達(dá)標(biāo)，則混合樣本的化驗(yàn)結(jié)果必不達(dá)標(biāo)，若混合樣本不達(dá)標(biāo)，則該組中各個樣本必須再逐個化驗(yàn)；若混合樣本達(dá)標(biāo)，則原水池的污水直接排放

現(xiàn)有以下四種方案：

方案一：逐個化驗(yàn)；

方案二：平均分成兩組化驗(yàn)；方案三；三個樣本混在一起化驗(yàn)，剩下的一個單獨(dú)化驗(yàn)；

方案四：四個樣本混在一起化驗(yàn).

化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越"優(yōu)".

（1）若，求2個A級水樣本混合化驗(yàn)結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率；

（2）①若，現(xiàn)有4個A級水樣本需要化驗(yàn)，請問：方案一、二、四中哪個最“優(yōu)"？②若“方案三”比“方案四"更“優(yōu)”，求p的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，為圓的圓心.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，當(dāng)直線的斜率為1時，.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過焦點(diǎn)作的垂線與圓的一個交點(diǎn)為，交拋物線于，（點(diǎn)在點(diǎn)，之間），記的面積為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

(1)證明：平面；

(2)設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動，平面與平面所成銳二面角為，求的取值范圍.

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