Question

函數(shù)f（x）=k•a^-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點(diǎn)A（0，1），B（3，8）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g(x)=

f(x)+b

f(x)-1

是奇函數(shù)，求b的值；
（3）在（2）的條件下判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A（0，1），B（3，8）在函數(shù)圖象，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式列出方程組，求出k、a的值；
（2）由（1）求出g（x）的解析式和定義域，再根據(jù)奇函數(shù)的定義g（x）=-g（-x）列出關(guān)于b的等式，由函數(shù)的定義域求出b的值；
（3）利用分離常數(shù)法化簡函數(shù)解析式，先判斷出在定義域上的單調(diào)性，再利用取值-作差-變形-判斷符號-下結(jié)論，證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（0，1），B（3，8）
∴

k=1 k•a-3=8

，解得k=1，a=

1

2

，
∴f（x）=2^x

（2）由（1）得，g(x)=

f(x)+b

f(x)-1

=

2x+b

2x-1

，則2^x-1≠0，解得x≠0，
∴函數(shù)g（x）定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
∵函數(shù)g（x）是奇函數(shù)
∴g(-x)=

2-x+b

2-x-1

=-g(x)=-

2x+b

2x-1

，
∴

2x(2-x+b)

2x(2-x-1)

=-

2x+b

2x-1

，即

1+b•2x

1-2x

=

2x+b

1-2x

，
∴1+b•2^x=2^x+b，即（b-1）•（2^x-1）=0
對于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，∴b=1

（3）由（2）知，g(x)=

2x+1

2x-1

=

2x-1+2

2x-1

=1+

2

2x-1

，且x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
當(dāng)x＞0時，g（x）為單調(diào)遞減的函數(shù)；當(dāng)x＜0時，g（x）也為單調(diào)遞減的函數(shù)，
證明如下：
設(shè)0＜x₁＜x₂，則g(x1)-g(x2)=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

∵0＜x₁＜x₂，∴2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2-2x1＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），即g（x）為單調(diào)遞減的函數(shù)
同理可證，當(dāng)x＜0時，g（x）也為單調(diào)遞減的函數(shù)．

點(diǎn)評：本題是函數(shù)性質(zhì)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)的定義求值，用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；注意函數(shù)的定義域優(yōu)先，并且函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能并在一起，這是易錯的地方．