Question

12．棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖所示，求圖中三角形（正四面體的截面）的面積．

Answer 1

分析 將截面圖轉化為立體圖，求三角形面積就是求正四面體中的△ABD的面積，求得AD，AC，由勾股定理可得CD，再由三角形的面積公式，計算即可得到所求．

解答 解：如圖球的截面圖就是正四面體中的△ABD，
已知正四面體棱長為2，
所以AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，AC=1，
在直角三角形ACD中，
CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
可得截面面積是：S_△ABD=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查球內接多面體以及棱錐的特征，考查空間想象能力，是中檔題．