Question

5．某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)擬生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比（如圖1），B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比（如圖2）．（注：利潤(rùn)與投資額的單位均為萬(wàn)元）
（1）分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)f（x）、g（x）表示為投資額x的函數(shù)；
（2）該團(tuán)隊(duì)已籌到10萬(wàn)元資金，并打算全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為多少萬(wàn)元時(shí)，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

分析 （1）由A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比，B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比，結(jié)合函數(shù)圖象，我們可以利用待定系數(shù)法來(lái)求兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系；
（2）由（1）的結(jié)論，我們?cè)O(shè)B產(chǎn)品的投資額為x萬(wàn)元，則A產(chǎn)品的投資額為10-x萬(wàn)元．這時(shí)可以構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于收益y的函數(shù)，然后利用求函數(shù)最大值的方法進(jìn)行求解．

解答 解：（1）f（x）=k₁x，g（x）=k₂$\sqrt{x}$，
f（1）=0.25=k₁，g（4）=2k₂=2.5，
∴f（x）=0.25x（x≥0），g（x）=1.25$\sqrt{x}$（x≥0），
（2）設(shè)B產(chǎn)品的投資額為x萬(wàn)元，則A產(chǎn)品的投資額為10-x萬(wàn)元．
y=f（10-x）+g（x）=0.25（10-x）+1.25$\sqrt{x}$（0≤x≤10），
令t=$\sqrt{x}$，則y=-0.25t²+1.25t+2.5，
所以當(dāng)t=2.5，即x=6.25萬(wàn)元時(shí)，收益最大，y_max=$\frac{65}{16}$萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過(guò)析題→建�！�解�！�還原四個(gè)過(guò)程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（小）化問(wèn)題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問(wèn)題中，最常見(jiàn)的思路之一．