Question

6．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

單價(jià)x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
銷量y（件）	90	84	83	80	75	68

（I）求回歸直線方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中b=-20，a=$\stackrel{∧}{y}$-b$\overline{x}$；
（II）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從（I）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（利潤(rùn)=銷售收入-成本）
（Ⅲ）銷量與單價(jià)仍然服從（I）中的關(guān)系，選取表格前三組數(shù)據(jù)，計(jì)算殘差平方和．
（殘差平方和計(jì)算公式$\sum_{i=1}^{n}$（y_i-$\stackrel{∧}{y}$_i）²．

Answer 1

分析 （I）計(jì)算平均數(shù)，利用b=-20，a=$\stackrel{∧}{y}$-b$\overline{x}$，即可求得回歸直線方程；
（II）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，利用利潤(rùn)=銷售收入-成本，建立函數(shù)，利用配方法可求工廠獲得的利潤(rùn)最大；
（Ⅲ）當(dāng)x=8時(shí)，e₁=0；當(dāng)x=8.2時(shí)，e₂=-2；當(dāng)x=8.4時(shí)，e₃=0，可得殘差平方和．

解答 解：（I）$\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80，
∵b=-20，a=$\stackrel{∧}{y}$-b$\overline{x}$，
∴a=80+20×8.5=250
∴回歸直線方程$\stackrel{∧}{y}$=-20x+250；
（II）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，則L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-$20（x-\frac{33}{4}）^{2}+361.25$
∴該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為$\frac{33}{4}$元，工廠獲得的利潤(rùn)最大．
（Ⅲ）當(dāng)x=8時(shí)，e₁=0；當(dāng)x=8.2時(shí)，e₂=-2；當(dāng)x=8.4時(shí)，e₃=0；
∴殘差平方和為4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查回歸分析，考查二次函數(shù)，考查運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題．