Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}{（x-5）^2}$+6lnx．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f（1），f′（1）的值，代入直線方程即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=-\frac{1}{2}{（x-5）^2}+6lnx$，x＞0，
∴f（1）=-8，切點(diǎn)為（1，-8）…（2分），
∵${f^'}（x）=5-x+\frac{6}{x}$，
∴切線斜率k=f′（1）=10…（4分）
∴切線方程為y+8=10（x-1），
即10x-y-18=0．…（6分）
（2）∵${f^'}（x）=5-x+\frac{6}{x}$
=$\frac{-（x-6）（x+1）}{x}$，x＞0    …（7分）
令f′（x）＞0，0＜x＜6；
令f′（x）＜0，x＞6              …（9分）
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，6）； 
單調(diào)遞減區(qū)間為（6，+∞）；
f（x）極大值為f（6）=-$\frac{1}{2}$+6ln6，無(wú)極小值． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求曲線的切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，是一道中檔題．