【題目】設，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點， 為的導函數(shù).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設，函數(shù)，求證： ；

（Ⅲ）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，且 滿足.

【答案】（Ⅰ）增區(qū)間是， ，遞減區(qū)間是.（Ⅱ）見解析；（III）見解析.

【解析】試題分析：由于為，所以判斷的單調(diào)性，需要對二次求導，根據(jù)的導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間;由，得 ，.令函數(shù)， 分別求導證明.有關零點問題，利用函數(shù)的單調(diào)性了解函數(shù)的圖像情況，對極值作出相應的要求可控制零點的個數(shù).

試題解析：（Ⅰ）解：由，可得，

進而可得.令，解得，或.

當x變化時， 的變化情況如下表：

x

+

-

+

↗

↘

↗

所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是， ，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅱ）證明：由，得，

.

令函數(shù)，則.由（Ⅰ）知，當時， ，故當時， ， 單調(diào)遞減；當時， ， 單調(diào)遞增.因此，當時， ，可得.

令函數(shù)，則.由（Ⅰ）知， 在上單調(diào)遞增，故當時， ， 單調(diào)遞增；當時， ， 單調(diào)遞減.因此，當時， ，可得.

所以， .

（III）證明：對于任意的正整數(shù) ， ，且，

令，函數(shù).

由（II）知，當時， 在區(qū)間內(nèi)有零點；

當時， 在區(qū)間內(nèi)有零點.

所以在內(nèi)至少有一個零點，不妨設為，則.

由（I）知在上單調(diào)遞增，故，

于是.

因為當時， ，故在上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點，而，故.

又因為， ， 均為整數(shù)，所以是正整數(shù)，

從而.

所以.所以，只要取，就有.

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