【題目】如圖，在棱長為2的正方體中，M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．

證明：平面；

若點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，求二面角的余弦值；

判斷點(diǎn)M到平面的距離是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）點(diǎn)到平面的距離為定值.

【解析】

（1）利用正方體的性質(zhì)得，由線面平行的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系求出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式求出二面角的余弦值，即可得解.（3）由（1）得點(diǎn)到平面的距離等于上任意一點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合（2）和點(diǎn)到面的距離公式得點(diǎn)到平面的距離即可.

（1）證明：因?yàn)樵谡襟w中，，平面，平面，平面

（2）在正方體中，，，兩兩互相垂直，則建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，，，設(shè)向量，分別為平面和平面的法向量，由

取，則，，.

同理

取，則，，.

，

又二面角的平面角為銳角，

二面角的余弦值為

（3）由（1）知平面.點(diǎn)到平面的距離等于上任意一點(diǎn)到平面的距離，取點(diǎn)為，結(jié)和（2）和點(diǎn)到平面的距離.點(diǎn)到平面的距離定值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖所示，已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3，0)，圓P過B且與圓A內(nèi)切，則圓心P的軌跡方程為_________．

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)，且的最大值為，求的值；

（2）方程在上的兩解分別為、，求的值.

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【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，點(diǎn)在線段的中垂線上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與的傾斜角分別為，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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【題目】2017年“十一”期間，高速公路車輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁伲?/span>）分成六段： ， ， ， ， ， ，后得到如圖的頻率分布直方圖．

（1）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；

（2）若從車速在的車輛中任抽取2輛，求車速在的車輛恰有一輛的概率．

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【題目】已知函數(shù)，其中．

若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

若對(duì)任意的為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù)

（1）求的定義域；

（2）判斷的奇偶性并給予證明；

（3）求關(guān)于x的不等式的解集．

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【題目】如圖，一輛汽車從A市出發(fā)沿海岸一條筆直公路以的速度向東勻速行駛，汽車開動(dòng)時(shí)，在A市南偏東方向距A市500km且與海岸距離為300km的海上B處有一艘快艇與汽車同時(shí)出發(fā)，要把一份文件交給這輛汽車的司機(jī)．

（1）快艇至少以多大的速度行駛才能把文件送到司機(jī)手中？

（2）求快艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與所成角的大小．

（3）若快艇每小時(shí)最快行駛，快艇應(yīng)如何行駛才能盡快把文件交到司機(jī)手中？最快需多長時(shí)間？

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【題目】銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是萬元，它們與投入資金 萬元的關(guān)系分別為，，（其中都為常數(shù)），函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線、如圖所示．

（1）求函數(shù)與的解析式；

（2）若該商場(chǎng)一共投資4萬元經(jīng)銷甲、乙兩種商品，求該商場(chǎng)所獲利潤的最大值．

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